표준편차 구하는 방법

표준 편차는 자료들이 전체적으로 어떻게 분포되어 있는지를 보여준다.[1] 따라서 표준 편차를 구하려면 먼저 주어진 자료의 평균과 분산을 계산해야 할 필요가 있다. 분산은 자료들이 평균 주위에 어떻게 흩어져 있는지를 나타내는 지표인데[2] , 표준 편차는 분산의 제곱근을 구하는 것으로 쉽게 계산할 수 있다. 이 글에서는 평균과 분산, 표준 편차를 구하는 법에 대해 배워보겠다.

파트

1

평균 구하기

---

1. 1
2. 주어진 자료 보기. 통계적인 계산을 할 때는 항상 주어진 자료를 먼저 자세히 살펴보는 습관을 지녀야 한다. 심지어 평균이나 중간값 같은 단순한 수치를 구한다 해도 말이다.[3]
3. 일단 주어진 자료에 얼마나 많은 숫자가 있는지 살펴본다.
4. 숫자가 작은 수부터 큰 수까지 널리 분포되어 있는가? 아니면 크기가 비슷한 숫자끼리 모여 있는가? 주어진 자료의 숫자가 아주 약간의 차이밖에 안 나는가?
5. 주어진 자료가 나타내는 것이 무엇인지 이해해야 한다. 자료의 숫자들은 성적일 수도 있고, 심박수일 수도 있으며, 키나 몸무게일 수도 있다.
6. 예를 들어 우리에게 주어진 시험 성적 자료가 10, 8, 10, 8, 8, 4로 나타날 수 있을 것이다.

1. 2
2. 자료 모으기. 자료에 속한 모든 숫자를 동원해 먼저 평균을 계산하도록 한다.[4]
3. 평균값은 말그대로 평균을 구하면 된다.
4. 평균을 구하려면 먼저 주어진 자료(n)의 모든 숫자를 더한 뒤에 더한 숫자의 개수로 나누면 된다.
5. 아까 주어진 성적 자료의 평균을 구해보면 다음과 같다. 먼저 자료는 (10, 8, 10, 8, 8, 4)처럼 집합으로 나타내고 숫자가 6개 있으므로 n = 6이 된다.

1. 3
2. 자료의 숫자를 모두 더하기. 평균을 구하기 위한 첫 번째 단계이다.[5]
3. 아까의 예시를 계속 이어서 풀어보겠다. 시험 성적 자료는 다음과 같았다: 10, 8, 10, 8, 8, 4.
4. 10 + 8 + 10 + 8 + 8 + 4 = 48. 이처럼 먼저 자료의 수를 다 더해준다.
5. 다시 한 번 덧셈을 해 검산을 한다.

 

1. 4
2. 이제 전 단계에서 구한 n으로 총합 나누기. 그러면 현재 주어진 자료의 평균값이 나오게 된다.[6]
3. 아까 계산한 시험 성적 자료 (10, 8, 10, 8, 8, 4)에는 숫자가 여섯 개 있었으므로 n = 6으로 쓸 수 있다.
4. 시험 성적을 다 합치면 48이 되므로 이제 이를 n으로 나눠 평균을 구할 수 있다.
5. 48 / 6 = 8
6. 즉 시험 성적의 평균은 8점이다.

파트

2

분산 구하기

---

1. 1
2. 분산 구하기. 분산이란 주어진 자료의 숫자가 평균을 기준으로 어떻게 흩어져 있는지 나타내는 지표이다.[7]
3. 분산은 전체적으로 숫자가 어떻게 흩어져 있는지 설명해준다.
4. 분산이 작으면 숫자가 평균값 근처에 모여있다는 말과 같다.
5. 분산이 크면 말 그대로 숫자가 평균값과 멀리 떨어져 있다는 뜻이다.
6. 분산은 두 자료의 흩어진 정도를 비교할 때 자주 사용된다.

1. 2
2. 자료의 수에서 평균값 빼기. 이 과정을 통해 자료 속의 각 숫자가 평균값에서 얼마나 멀리 떨어져 있는지를 알 수 있다.[8]
3. 예를 들어 아까 시험 성적을 다시 보도록 하자. (10, 8, 10, 8, 8, 4)의 평균으로 8을 구했었다.
4. 이제 각 숫자에서 평균을 빼면 다음처럼 될 것이다. 10 - 8 = 2, 8 - 8 = 0, 10 - 8 = 2, 8 - 8 = 0, 8 - 8 = 0, 4 - 8 = -4.
5. 이 과정을 다시 한 번 반복해 검산하도록 한다. 한 번 실수하면 이후의 과정이 다 틀려질 수 있으므로 꼭 검산을 하도록 한다.

1. 3
2. 평균값을 빼고 나온 값을 제곱하기. 자료 속의 숫자에서 평균을 뺀 값을 각각 따로 제곱해 놓는다.[9]
3. 아까 시험 성적 자료(10, 8, 10, 8, 8, 4) 에서 평균값 8을 빼고 남은 숫자는 2, 0, 2, 0, 0, -4 였다.
4. 이제 각 숫자를 제곱하도록 한다. 그러면 22, 02, 22, 02, 02, (-4)2 = 4, 0, 4, 0, 0, 16로 정리된다.
5. 다음 단계로 넘어가기 전에 빠르게 검산을 하도록 한다.

 

1. 4
2. 모든 값을 더하기. 이 과정을 제곱합이라고 부른다.[10]
3. 다시 시험 성적 자료를 놓고 보면 제곱한 값은 4, 0, 4, 0, 0, 16가 나왔었다.
4. 다시 설명하자면 위 값은 각 성적에서 평균값 8을 빼고 각각 제곱한 것이다. (10-8)^2 + (8-8)^2 + (10-8)^2 + (8-8)^2 + (8-8)^2 + (4-8)^2
5. 이제 제곱한 값을 다 더해보자. 4 + 0 + 4 + 0 + 0 + 16 = 24.
6. 제곱의 합은 24이다.

1. 5
2. 제곱의 합을 (n-1)로 나누기. 아까 위에서 썼지만, n은 처음 주어진 자료에 속한 숫자의 개수이다. 이 과정을 거치면 분산이 나오며, 여기서 n-1로 나누는 이유는 표본 분산과 모분산을 분리하기 위해서이다.[11]
3. 시험 성적을 놓고 다시 보면 (10, 8, 10, 8, 8, 4)로 6개의 숫자가 있었다. 따라서 n = 6이다.
4. n - 1 = 5.
5. 제곱의 합이 24가 나왔다는 점을 참고하자.
6. 24 / 5 = 4.8
7. 따라서 시험 성적의 분산은 4.8가 된다.

파트

3

표준 편차 구하기

---

1. 1
2. 분산 알기. 표준 편차를 구하기 위해서는 분산이 필요하다는 점을 먼저 알도록 하자.[12]
3. 분산은 주어진 자료의 숫자가 평균값을 기준으로 어떻게 분포되어 있는지 나타내는 지표다.
4. 표준 편차도 분산과 마찬가지로 자료 내의 숫자가 어떻게 분포되어 있는지를 나타낸다.
5. 시험 성적 예시를 다시 보자. 아까 위에서 구한 분산은 4.8이었다.

1. 2
2. 분산의 제곱근 구하기. 분산 값에 루트를 씌워 제곱근을 구하면 표준 편차가 나온다.[13]
3. 일반적으로 어떤 자료의 데이터 중 68%는 평균값을 기준으로 표준 편차 값을 더하거나 뺀 값의 범위를 벗어나지 않는다.
4. 아까 시험 성적의 분산은 4.8이었다.
5. 루트를 씌우면 다음과 같이 표준 편차가 나온다. √4.8 = 2.19. 우리가 구하고자 한 표준 편차의 값이 2.19가 됨을 알 수 있다.
6. 우리 시험 성적 자료 (10, 8, 10, 8, 8, 4)를 보면 평균값 (8)에서 표준 편차 (2.19)를 더하고 뺀 값의 범위 내에 6개 중 5개, 즉 83%의 수가 속해 있는 것을 확인할 수 있다.

1. 3
2. 평균, 분산, 표준 편차를 다시 구해 검산하기. 이 글을 다시 쭉 따라가며 모든 수치가 맞게 계산되었는지 확인한다.[14]
3. 표준 편차를 구할 때 계산기를 썼던 손으로 풀었던 모든 과정을 종이에 적어가며 푸는 것이 중요하다.
4. 두 번째 구했을 때 다른 값이 나왔다면 과정을 차근차근 훑어보도록 한다.
5. 어디가 틀렸는지 찾기 힘들다면 마지막으로 다시 한 번 문제를 풀어본다.

 

펌글 : 

LEGEND

2022. 11. 30. 17:42

표준 편차 구하는 법 : 네이버 블로그 (naver.com)